判定：1、用定义判定。2、有三个角是直角的四边形是矩形；3、对角线相等的平行四边形是矩形。

　　（二）菱形：

　　定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。

　　性质：1、具有平行四边形的性质；2、菱形的四条边相等；3、菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。4、菱形是轴对称图形，它有两条对称轴。如图.

　　判定：1、用定义判定；2、四边都相等的四边形是菱形。3、对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

　　（三）正方形：

　　定义；有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形。

　　性质：正方形是特殊的菱形，又是特殊的矩形，所以它具备菱形和矩形的所有的性质。正方形是轴对称图形，它有四条对称轴。如图.

　　判定：1、用定义判定；2、有一个角是直角的菱形是正方形；3、有一组邻边相等的矩形是正方形。

　　另外由矩形性质得到直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

　　∴ AB//CD，AB=CD
　　又∵ E、F分别为AB、CD的中点
　　∴ AE=AB=CD=CF
　　∵ AG=CM　 ∴ AG+AE=CM+CF
　　即EG=FM
　　在四边形EMFG中，EG//MF，EG=FM
　　∴ 四边形EMFG是平行四边形
　　∴ EM//GF

　　例5. 已知：如图，在平行四边形ABCD中，K、L、M、N分别为AB、BC、CD、AD上的点，且满足AK=CM，BL=DN，
　　求证：四边形KLMN为平行四边形。

　　分析：证明四边形是平行四边形的方法有很多，首先要明确证明的方向，根据题目所给的条件及图形特点发现，图形中角等的条件比较少，所以通过角等或对边平行可能会比较困难，通过两组对边分别相等应是此题的证明方向。
　　证明：∵ ABCD是平行四边形，
　　∴ ∠C=∠A，AD=BC，
　　又∵ BL=DN，
　　∴ AD-DN=BC-BL，即AN=CL
　　∵ AK=CM，∴ △ANK≌△CLM，∴ KN=ML，
　　同理：△DMN≌△BKL，MN=KL
　　∴ 四边形KLMN为平行四边形。

　　例6. 求证：平行四边形对角线的交点到一组对边的距离相等

　　已知:如图：平行四边形ABCD中对角线AC、BD相交于O，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，

　　求证：OE=OF。

　　分析：显然是通过证明两个三角形全等得到此结论，但是垂线的构成是由对角线的交点向一组对边引的两条垂线，在没有证明E、O、F三点共线的情况下，切不可用对顶角相等作为全等三角形判定的条件。

　　证明：∵ 平行四边形ABCD，
　　∴ AO=CO，
　　∴ AB//CD　
　　∴ ∠CAD=∠ACB
　　又∵ OE⊥AB于E，OF⊥CD于F
　　∴ ∠AEO=∠OFC=90°
　　在ΔAOE和ΔCOF中
　　∠CAD=∠ACB　 ∠AEO=∠OFC　 AO=CO
　　∴ ΔAOE≌ΔCOF，
　　∴ OE=OF

　　例7. 已知：如图，E、F分别为平行四边形ABCD中AB、CD的中点，EF与AC交于点O，求证：AO=CO。

　　分析：证明线段相等的问题可以利用平行四边形的对角线的性质，但显然证明AC、BD交于O是涉及到三线共点的问题，是比较困难的。所以不妨仍旧通过三角形的全等来寻找相等的线段。

　　证明：∵ ABCD为平行四边形
　　∴ AB=CD， AB//CD
　　又∵ E、F分别为AB、CD的中点
　　∴ CF=AE
　　∵ AB//CD　 ∴ ∠CAE=∠ACF　 ∠AEF=∠EFC
　　∴ ΔAOE≌ΔCOF， ∴ AO=CO。

　　例8. 已知：如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别在AB、BC上，且EF//AC，

　　求证：ΔAED与ΔDCF面积相等。

　　分析：证明三角形面积相等有几种常见的方法：（1）全等三角形面积相等（2）等底（同底）等高三角形面积相等。从图形中观察，ΔAED与ΔDCF显然不全等。只有找等底等高，而相等的高往往通过平行线找到。ΔAED与ΔDCF这两个三角形的底与高并无直线相等关系，这就需要借助于中间图形，构造面积相等的辅助三角形。

　　证明：连结AF、EC
　　∵ ABCD为平行四边形，
　　∴ AB//CD，ΔAED与ΔAEC等积
　　 　AD//BC　 ΔDCF与ΔAFC等积
　　∵ EF//AC　 ∴ ΔAEC与ΔAFC等积
　　∴ ΔAED与ΔDFC等积。
　　
　　例9．如图，将□ABCD沿AC折叠，点B落在B'处，AB'交DC于点M．求证：折叠后重合的部分（即ΔMAC）是等腰三角形．

　　评析：该题是等腰三角形、轴对称图形、平行四边形性质的综合．因为沿AC折叠，所以AC所在直线是四边形ABCB'的对称轴，由轴对称的性质可以判定∠4=∠5．根据平行四边形的性质：对边平行，易知∠3=∠4，所以∠3=∠5，可知MA=MC，
　　△MAC是等腰三角形得证．另外证明△ADM≌△CB'M，也可得到MA=MC．

　　证法1：
　　∵ 四边形ABCD是平行四边形，
　　∴ AD=BC，∠D=∠B。
　　由题意得BC=CB′，∠B=∠B′，　　　　　　
　　∴ AD=CB′，∠D=∠B′
　　又∵ ∠1=∠2
　　∴ △ADM≌△CB′M，　　　 ∴ MA=MC
　　∴ 即△MAC是等腰三角形

　　证法2：
　　∵ 四边形ABCD是平行四边形，
　　∴ AB∥CD，∠4=∠3
　　又△ACB，△ACB′关于直线AC对称，
　　∴ ∠4=∠5，
　　∴ ∠3=∠5∴ MA=MC，即△MAC是等腰三角形